Thêm một bài toán về đường tròn Mixtilinear

Tam giác ABC nội tiếp (O),đường tròn mixtilinear-A tiếp xúc (O) tại D, Tương tự có, E, F. Trục đẳng phương của đường tròn Mixtilinear tại B và C cắt EF tại X, tương tự có Y, Z.  Chứng minh DX, EY, FZ đồng quy.

Lời giải:

Ta cần bổ đề: ( được gọi là Cevian nest theoreom) Cho tam giác ABC, tiếp tuyến tại B,C cắt nhau tại M, tiếp tuyến tại A, C cắt nhau tại N, và tiếp tuyến tại A, B cắt nhau tại P. Khi đó điểm D, E, F trên cạnh BC, CA, AB thì AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi MD, NE, PF đồng quy.

Chứng minh:



Xét tam giác MBC cân tại M, $\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}=\frac{sin(MD,MB)}{sin(MC, MD)}$ (Lần lượt áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác BDM và CDM rồi chia để được đẳng thức trên)


Tương tự: $\frac{\overline{CE}}{\overline{AE}}=\frac{sin(CN,NE)}{sin(AN,NE)}$


$\frac{AF}{BF}=\frac{sin\widehat{APF}}{sin\widehat{APB}}$


Nên: $\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{BF}=\frac{sin\widehat{BMD}}{sin\widehat{CMD}}.\frac{sin\widehat{CNE}}{sin\widehat{ANE}}.\frac{sin\widehat{APF}}{sin\widehat{APB}}$
Nên ta có đpcm

Trở lại bài toán: $D_1$ là giao tiếp tuyến tại E, F của (O) thì ta có $D_1E=D_1F$ Hay $D_1$ cùng phương tích với đường tròn mix_B và đường tròn mix_C suy ra $D_1X$ là trục đẳng phương của đường tròn $Mix_B$ và đường tròn $mix-C$ tương tự $E_1Y$, $F_1Z$ cũng là trục đẳng phương của các đường tròn. Nên $D_1X, E_1Y, F_1Z$ đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn. Áp dụng bổ đề trên ta có đpcm