Lời giải:
Ta có 2 bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho MN là đường kính của (O), A,B thuộc (O), AM cắt BN tại Q trong (O). Khi đó (ABQ) và (O) trực giao.
Chứng minh: Ta có: $\widehat{ABQ}=\widehat{AMO}=\widehat{MAO}$ suy ra AO là tiếp tuyến của (ABQ) tại A. Vậy (ABQ) và (O) trực giao.
Bổ đề 2: Cho đường tròn mixtilinear ứng với góc A tiếp xúc AB, AC, (O) tại H, K, D. I là tâm nội tiếp. AI cắt (O) tại N. Khi đó DN, HK, BC đồng quy.
Chứng minh:
Ta có các kết quả sau: BHID nội tiếp
I, H, K thẳng hàng
D,I,M thẳng hàng (MN là đường kính (O))
Giả sử HK cắt BC tại G
Suy ra $\widehat{GIB}=\widehat{BDH}=\widehat{ICB}$
Nên: $IG^2=GB.GC$
Giả sử GN cắt (O) tại D'
Thì ta có: $IG^2=GD'.GN$
Suy ra: $ID' \perp D'N$ Mà do $MD' \perp D'N$( MN là đường kính) nên M, I, D' thẳng hàng hay D trùng D'
Trở lại bài toán.
Gọi M, N là trung điểm cung BC
Kẻ đường kính AA'. A'M cắt AD tại R.
Áp dụng bổ đề 1 ta được (O) và (ADI) trực giao, suy ra T là tâm của tam giác (AID).
Ta có: $\widehat{TIA}=\widehat{TAI}=\widehat{AMN}=\widehat{AXB}$ (X là giao AN và BC)
vậy TI song song BC
Gọi U là giao DM và BC, V trên AD sao cho UV || AI. Theo bổ đề 2 thì BC, DN và đường đối cực của A của (K) đồng quy tại G. Vì thế $ \measuredangle VDG $ $ = $ $ \measuredangle (AI,BC) $ $ = $ $ \measuredangle VUG $ $ \Longrightarrow $ $ D, $ $ G, $ $ U, $ $ V $ thuộc đường tròn đường kính GU nên GV vuông UV, mặt khác GI vuông UV do UV || AI nên G, U, V thẳng hàng.
$ \tfrac{DS}{DT} $ $ = $ $ \tfrac{DU}{DI} $ $ = $ $ \tfrac{DV}{DA} $ $ = $ $ \tfrac{DI}{DM} $ $ = $ $ \tfrac{DA}{DR} $ $ \Longrightarrow $ $ AS $ $ \parallel $ $ RT$
Ta có đường đối cực của R sẽ đi qua L theo Brocard. Mặt khác: AD là đường đối cực của T suy ra đường đối cực của R sẽ đi qua T. Suy ra LT là đường đối cực của R. đối với (O)
Vậy $T(A,L,S,R)=-1$, mà AS//RT, vậy ta có đpcm.
