Tọa độ tỉ cự trong mặt phẳng

Bài toán: Cho $\triangle ABC$ trực tâm $H$, $D,E,F$ là chân các đường cao từ $A,B,C$
$DK$ là đường cao của tam giác $\triangle DEF$ và $M$, $N$ là trung điểm $DK$ và $EF$, . Gọi $P$ trung điểm $BC$ Và $MN\cap BC=\{ R \}$, CMR: $AR$, $PH$ và $EF$ đồng quy

Lời giải:

Xét hệ tọa độ tỉ cự trong tam giác $\triangle DEF$.
Phương trình đường thẳng $AR$,
Chú ý rằng $B$ và $C$ là các tâm bàng tiếp của $\triangle DEF\ . \ . \ . \ \bigstar$
Theo bổ đề thì điểm Lemoine $=(d^2, e^2, f^2)$ của $\triangle DEF$ thuộc $MN$, Vì thế phương trình đường thẳng sẽ là

\begin{align*}

& \ \ \ \ \ \begin{vmatrix}
0 &  \ \ \ \frac12 & \ \ \ \frac 12 \\ \\
d^2 &  \ \ \ e^2 & \ \ \ f^2 \\ \\
x & y & z \notag
\end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow d^2(y-z)-e^2x+f^2x=0 \\
& \bigstar \left\{\begin{array}{rl}
B=(d,-e, f) \\
C=(d,e,-f)
\end{array}\right\}
\Longrightarrow BC\equiv
\begin{vmatrix}
d & \ \ -e & \ \ f \\ \\
d & \ \ e & \ \ -f \\ \\
x & \ \ y & \ \ z \notag
\end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow z=-y\frac{f}{e}
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{rl}
& y=x\frac{e(e-f)}{d^2}\\ \\
& z=-x\frac{f(e-f)}{d^2}
\end{array}\right\}\Longrightarrow R=\left(d^2, e(e-f), -f(e-f)\right)
\\
& \stackrel{A=(-d,e,f)}{\Longrightarrow} AR\equiv
\begin{vmatrix}
d^2 &  \ \ \ e(e-f) & \ \ \ -f(e-f) \\ \\
-d &  \ \ \ e & \ \ \ f \\ \\
x & y & z \notag
\end{vmatrix}=0\\ & \Longleftrightarrow AR\equiv x\cdot 2ef(e-f)-y\cdot df(d+f-e)+z\cdot de(d+e-f) =0\ . \ . \ . \ \bigstar \bigstar
\end{align*}

Giờ tìm $P$, chú ý $P$ là giao của:
\begin{align*}
 & \underbrace{\text{(trung trực }EF)\equiv d^2(z-y)+x(f^2-e^2)=0 \text{ và}
BC\equiv e\cdot z+y\cdot f=0
}_{\Big \Downarrow}\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  P=\left(d^2, e(f-e), f(e-f)\right)
\end{align*}

Chú ý $H$ tâm nội tiếp $\triangle DEF$, vì thế $H=(d,e,f)$, vậy:
\begin{align*}
P=\left(d^2, e(f-e), f(e-f)\right) \\
H=(d,e,f)
& \Longrightarrow  PH\equiv
\begin{vmatrix}
d^2 & \ \ e(f-e) & \ \ f(e-f) \\ \\
d & \ \ e & \ \ f \\ \\
x & \ \ y & \ \ z \notag
\end{vmatrix}=0 \\
& \Longleftrightarrow PH\equiv -y\cdot df(d+f-e)+z\cdot de(d+e-f)=0 \ . \ . \ . \ \bigstar \bigstar \bigstar
\end{align*}

Cuối cùng:
\begin{align*}
EF\equiv x=0 & \stackrel{\bigstar \bigstar\text{ và}\bigstar \bigstar \bigstar}{\Longrightarrow}
\left.
\begin{array}{c}
\text{AR $\rightarrow$} \\ \\
\text{PH $\rightarrow$} \\ \\
\text{EF $\rightarrow$}
\end{array}
\right.
\begin{vmatrix}
2ef(e-f) & \ \ -df(d+f-e) & \ \ de(d+e-f) \\ \\
0 & \ \ -df(d+f-e) & \ \ de(d+e-f) \\ \\
1 & \ \ 0 & \ \ 0 \notag
\end{vmatrix}=0
\end{align*}

Vậy $AR$, $PH$ và $EF$ đồng quy $\square$