Giải hệ phương trình bằng phương pháp UCT

1: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix}
x^3+y^2=(x-y)(xy-1) & \\
x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1) &
\end{matrix}\right.$$

Lời giải.

Ta thấy bậc y ở cả hai phương trình đều có bậc 2 nên ta sẽ biểu diễn theo y:

$\left\{\begin{matrix}
y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0 & \\
y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0 &
\end{matrix}\right.$

Ta cần tìm x để khi thay vào ta được hai phương trình tương đương. Tức là hệ số của chúng tỉ lệ;

$\frac{x+1}{x}=\frac{x^2+1}{x^2+x-1}=\frac{x^3+x}{x^3-x^2+1}\Leftrightarrow x=1$

Khi thay x=1 vào các hệ trên:

$\left\{\begin{matrix}
2(y^2-y+1)=0 & \\
(y^2-y+1)=0  &
\end{matrix}\right.$

Suy ra: 2PT(2)-PT(1) sẽ có nhân tử x-1:

$(x-1)(y^2-(x+3)y+x^2-x-2)=0$

Trường hợp x=1, phương trình vô nghiệm

Trường hợp x khác 1, ta được hệ mới:

$\left\{\begin{matrix}
y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 & \\
y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  &
\end{matrix}\right.$

Tương tự ta được $x=\frac{-1}{2}$

Thay nó vào hệ ta rút ra được:

$2PT(2)-PT(1)=(2x+1)(y^2-(x-1)y+x^2-x+2)=0$

Xét trường hợp $x=\frac{-1}{2}$
...
Xét trường hợp x khác $\frac{-1}{2}$

Ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}
y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0 & \\
y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 &
\end{matrix}\right.$

Trừ hai vế cho nhau ta có $y=-1$

Phần còn lại dành cho bạn đọc

Tương tự ta cũng có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix}
2(x+y)(25-xy)=4x^2+17y^2+105& \\
x^2+y^2+2x-2y=7 &
\end{matrix}\right.$

Tương tự, nếu ta biểu diễn theo x ta sẽ không tìm được y, nhưng nếu biểu diễn theo y ta tìm được $x=2$, thay $x=2$ vào hệ:

$\left\{\begin{matrix}
21(y^2-2y+1)=0& \\
(y^2-2y+1)=0 &
\end{matrix}\right.$ nên PT(1)-21PT(2)=$(x-2)(2y^2+2xy+4y-17x-126)=0$

Trường hợp x=2 đơn giản, ta xét trường hợp x khác 2:

$\left\{\begin{matrix}
2y^2+2xy+4y-17x-126=0& \\
x^2+y^2+2x-2y-7=0 &
\end{matrix}\right.$

Đến đây phương trình vô nghiệm theo phương pháp uct $3PT(2)-PT(1)=(x-y+5)^2+2x^2+x+80=0$