Bài toán chia đôi trong đề thi Bình Thuận

Đề bài: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại M, AD cắt BC tại N. AC cắt BD tại P. K là trung điểm MN, PK cắt (O) tại H. MH, NH cắt (O) tại I, J. Chứng minh KP chia đôi IJ.

Hướng dẫn:

Gọi T là điểm Miquel, G là giao điểm của NI và MJ.
Ta có $MI.MH=MA.MB=MN.MT$ suy ra tứ giác NTIH nội tiếp
Tương tự được tứ giác $MTHJ$ nội tiếp
Xét tam giác GMN có INHT và HTJM nội tiếp nên theo định lý Miquel GIHJ nội tiếp hay G thuộc (O).
Theo định lý Brocard ta có:
$OP.OT=R^2$ nên IJ giao GH tại P. Ta cũng có G, H, K thẳng hàng từ đó suy ra GK chia đôi IJ tại P.

Cách 2: Qua P kẻ đường thẳng vuông góc OP cắt (O) tại I, J  như hình vẽ, Gọi H là giao điểm MI và (O), Ta sẽ chứng minh N,H, J thẳng hàng và P, H, K thẳng hàng.

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm HIADCJ Ta có M, X, $N_1$ thẳng hàng ($N_1 $ là giao của AD và JH) $\Rightarrow  AD \cap MX \equiv N_1$ nên N trùng $N_1$ hay N, H, J thẳng hàng.

Mặt khác theo định lý Brocard thì OP vuông MN nên IJ song song MN. Lại do P là trung điểm IJ nên P, H, K thẳng hàng. Như vậy ta có đpcm

Dùng định lý Pascal suy biến vào bài toán chia đôi

Ta có định lý Pascal đầy đủ cho lục giác, định lý Pascal suy biến là khi một số các đỉnh trùng nhau.

Ta xét bài toán sau:

Cho tam giác ABC, nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). BI cắt AC, (O) lần lượt tại $B_0, B_1$. Tương tự $C_0, C_1$ . Gọi S là giao điểm của $C_0B_1 và B_0C_1$. Chứng minh rằng SI chia đôi BC.

Lời giải:

Đặt $ T \equiv B_0C_0 \cap B_1C_1 $ và $ X \equiv AI \cap BC, Y \equiv AT \cap BC $ .

Áp dụng định lý Pascal suy biến cho lục giác $ AABB_1C_1C$ $ \Longrightarrow AT $ là tiếp tuyến của $ \odot (ABC) $ ,
Để ý rằng $ B_1C_1 $ là trung trực $ AI $ nên $ TA=TI $ . ... $ (\star) $

Ta có: $ YA=YX \Longrightarrow $ Kết hợp với $ (\star) $ Ta có $ TI \parallel XY \equiv BC $ ,
Vì thế từ tứ giác $B_0C_1B_1C_1$ toàn phần suy ra $ I(B,C;T,S)=-1 \Longrightarrow IS $ đi qua trung điểm $ BC $ .

Dùng tỉ số kép để chứng minh bài toán

Bài: Cho lục giác lồi AMBDNC nội tiếp trong đường tròn đường kính MN , AC=BD  . Gọi P là giao điểm của MC với AN ; Q là giao điểm của MD với  BN . Chứng minh rằng đường thẳng AD, BC chia đôi PQ.

Lời giải:

Bài tập về đường tròn Mixtilinear

(Thầy Trần Quang Hùng): Cho tam giác ABC nội tiếp (O). (K) tiếp xúc AC, AB và tiếp xúc (O) tại D. M là trung điểm cung BC chứa A. DM cắt AO tại L. Tiếp tuyến tại D cắt BC và cắt tiếp tuyến tại A, tại S, T. Chứng minh rằng AS chia đôi TI.

Lời giải:

Ta có 2 bổ đề sau:

Bổ đề 1: Cho MN là đường kính của (O), A,B thuộc (O), AM cắt BN tại Q trong (O). Khi đó (ABQ) và (O) trực giao.

Chứng minh: Ta có:  $\widehat{ABQ}=\widehat{AMO}=\widehat{MAO}$ suy ra AO là tiếp tuyến của (ABQ) tại A. Vậy (ABQ) và (O) trực giao.

Bổ đề 2: Cho đường tròn mixtilinear ứng với góc A tiếp xúc AB, AC, (O) tại H, K, D. I là tâm nội tiếp. AI cắt (O) tại N. Khi đó DN, HK, BC đồng quy.

Chứng minh:
Ta có các kết quả sau: BHID nội tiếp
I, H, K thẳng hàng
D,I,M  thẳng hàng (MN là đường kính (O))
Giả sử HK cắt BC tại G
Suy ra $\widehat{GIB}=\widehat{BDH}=\widehat{ICB}$
Nên: $IG^2=GB.GC$
Giả sử GN cắt (O) tại D'
Thì ta có: $IG^2=GD'.GN$
Suy ra: $ID' \perp D'N$ Mà do $MD' \perp D'N$( MN là đường kính)  nên M, I, D' thẳng hàng hay D trùng D'
Trở lại bài toán.
Gọi M, N là trung điểm cung BC
Kẻ đường kính AA'. A'M cắt AD tại R.

Áp dụng bổ đề 1 ta được (O) và (ADI) trực giao, suy ra T là tâm của tam giác (AID).

Ta có: $\widehat{TIA}=\widehat{TAI}=\widehat{AMN}=\widehat{AXB}$ (X là giao AN và BC)

vậy TI song song BC

Gọi U là giao DM và BC, V trên AD sao cho UV || AI. Theo bổ đề 2 thì BC, DN và đường đối cực của A của (K)  đồng quy tại G. Vì thế $ \measuredangle VDG $ $ = $ $ \measuredangle (AI,BC) $ $ = $ $ \measuredangle VUG $ $ \Longrightarrow $ $ D, $ $ G, $ $ U, $ $ V $ thuộc đường tròn đường kính GU nên GV vuông UV, mặt khác GI vuông UV do UV || AI nên G, U, V thẳng hàng.

$ \tfrac{DS}{DT} $ $ = $ $ \tfrac{DU}{DI} $ $ = $ $ \tfrac{DV}{DA} $ $ = $ $ \tfrac{DI}{DM} $ $ = $ $ \tfrac{DA}{DR} $ $ \Longrightarrow $ $ AS $ $ \parallel $ $ RT$

Ta có đường đối cực của R sẽ đi qua L theo Brocard. Mặt khác: AD là đường đối cực của T suy ra đường đối cực của R sẽ đi qua T. Suy ra LT là đường đối cực của R. đối với (O)

Vậy $T(A,L,S,R)=-1$, mà AS//RT, vậy ta có đpcm.