Dùng cấp để tìm các số thỏa mãn bài toán

Đề bài: Tìm $p,q$ nguyên tố sao cho $2^{p}+2^{q}\vdots (pq).$

Lời giải:

Dễ thấy $(p,q)=(2,2),(3,2),(2,3)$.

Nếu $p,q \ge 3$. Dùng định lý Fermat nhỏ, ta có $2^{p} \equiv 2 \pmod{p}$. Vì thế $p|2^{q-1}+1$. Ta được $2^{q-1} \equiv -1 \pmod{p}$.

Đặt $q-1=2^x \cdot y$ với $x,y \in \mathbb{N}^*, \; \gcd(y,2)=1$ và đặt $2^y=k$, ta được $2^{q-1}=(2^y)^{2^x} \equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow k^{2^{x+1}} \equiv 1 \pmod{p}$.

Ta có $\text{ord}_p(k) |2^{x+1}$.

Vì $k^{2^x} \equiv -1 \pmod{p}$ nên $p \nmid k^{2^x}$. Vì thế $\text{ord}_p(k) \nmid 2^x$. 

Vậy $\text{ord}_p(k)=2^{x+1}$. 

Ta cũng có $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Nên $2^{x+1}|p-1$. Đặt $p=2^{u} \cdot l+1$ với $u,l \in \mathbb{N}^*, \; \gcd (l,2)=1$ thì $u \ge x+1$.

Tương tự ta cũng được $x \ge u+1$, mâu thuẫn

Vậy câu trả lời là $\boxed{ (x,y)=(2,2),(3,2),(2,3) $

Bài tập tương tự: Tìm $p,q$ nguyên tố sao cho $5^p+5^q \vdots pq$ ( lưu ý là phải xét thêm $p,q =2$)

Đa thức hệ số hữu tỉ

Đề bài: Tìm tất cả đa thức hệ số hữu tỷ $P(n)$ thoả $P(n)\mid 2^{n} - 1$ với mọi số tự nhiên $n$.

Lời giải:

Các kết quả cơ bản dùng cho lời giải
i) $n = \pm 1$ là số nguyên duy nhất thoả mãn $\pm n\mid 2^{|n|} - 1$
ii) $P(n) \mid P(P(n) + n)$
Lưu ý là ta chỉ quan tâm các đa thức nhận giá trị nguyên với $n$ tự nhiên nên ii) vẫn đúng.
Theo đó, ta có $P(n) \mid P(P(n) + n) \mid 2^{P(n) + n} - 1$. Mặt khác, $P(n)\mid 2^{n} - 1$
Tóm lại ta thu được $P(n) \mid 2^{P(n)}$. Suy ra $P(n) = 1$ hoặc $P(n) = -1$ có vô hạn nghiệm, đến đây dễ suy ra rằng $P(x) = 1$ với mọi $x$ hay $P(x) = -1$ với mọi $x$

Chứng minh i)

Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ theo Định lý Fermat nhỏ:

 

$2^{p-1} \equiv 1 (mod p)$

mà $(p-1, n)=1$ Suy ra $ord_p(2)=1$ hoặc bằng $p-1$ trường hợp bằng 1 là đơn giản.

Xét trường hợp $ord_p(2)=p-1$ Khi đó: $n=(p-1)k+r( 0<r<p-1)$

Suy ra: $2^n \equiv 2^r \equiv 1 (mod p)$ vô lí do $ord_p(2)=p-1 >r$

Vậy ta có đpcm.

ii) Ta dùng bổ đề đơn giản sau: $P(a)-P(b) \vdots a-b$