Về phép đếm quay quanh tâm

Ví dụ 1(VMO 2010): Cho bảng 3x3 và n là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong n màu.
Hai cách tô màu được gọi là như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm.
Lời giải:
Cách của thầy Trần Nam Dũng:

Ví dụ 2: (AIME 1996) Hai ô của hình vuông 7 × 7 được tô bằng màu vàng. Các ô còn lại được tô bằng màu đỏ. Hai cách tô đượcc coi là tương đương nhau nếu chúng có thể thu được từ nhau bằng một phép quay trên mặt phẳng của hình vuông. Đếm sô các cách tô màu không tương đương.

Lời giải:
(Xây dựng hệ trục trên hình vuông ô đầu tiên đánh số 1 từ trái sang đánh đến số 7, từ trên xuống đánh từ 1 đến 7)
Ta chia hai ô màu vàng của hình vuông thành 3 loại:

Loại 1: có 1 ô (4;4), thì ô còn lại có 48 cách chọn ( có thể bị lặp). Do các phép quay 90 độ, 180 độ, 270 độ tạo thành những cách khác ta phải loại bớt nên có 48/4=12 cách chọn

Loại 2: các ô có tọa độ là (4,x), (4, 8-x) và (x,4), (8-x, 4) và các ô chéo của hình vuông con ở trong thì khi đó sẽ có 4.3=12 cách chọn như vậy.(Do có 3 hình vuông con mà tâm là (4;4))

Loại 3: Không tính loại 2. Rõ ràng là $\frac{\mathbb{C}_2^{49}-24}{4}$

Tổng cộng có: $\frac{\mathbb{C}_2^{49}-24}{4}+12=300$ cách chọn.
Có thể thấy rõ qua hình sau:

Chú ý: -Có thể không xài loại 1 làm gì nhưng viết vào để cho dễ hình dung.
-Đây là trường hợp của bổ đề Burnside

Ví dụ 3 (tạp chí Kvant số 5 năm 2000): Một đường tròn chia làm p cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng a màu. Hai cách tô được gọi là giống nhau nếu có thể thu được từ nhau bởi 1 phép quay.

Với bài toán trên, có $ a^p $ cách tô màu p cung. Trong những số cách ấy, có những cách ta đếm lặp, cần loại đi. Ta thấy rằng nếu p cung được tô bởi 1 màu thì khi quay các góc 2pi/p, 4pi/p,..., 2(p-1)pi/p không thu được những cách tô khác. (ta có thể chứng minh rằng nếu $n \vdots k$ khi đó tồn tại phép quay góc 2kpi/p biến đường tròn này thành đường tròn kia) . Trong khi đó, những cách tô sử dụng 2 màu trở lên khi quay sẽ cho ra các cách tô khác (chú ý tính nguyên tố của p). Vì vậy, mỗi một cách tô sử dụng 1 màu (có a cách tô như vậy) chỉ được đếm 1 lần trong tổng $a^p $cách tô, trong khi đó mỗi cách tô sử dụng 2 màu trở lên (có $a^p - a$ cách tô như vậy) được đếm p lần trong tổng nói trên.

Từ đó suy ra số cách tô cần tìm bằng $ a + \dfrac{a^p-a}{p} $.

Chú ý: Từ kết quả này có thể suy ra định lí Fermat nhỏ.

Bài toán tổ hợp tô màu

Bài: Vùng nọ có khu đất vàng 100 × 100 m, chia ra làm 100 lô, mỗi lô 10 × 10 m. Vua bãi rác muốn lấn chiếm khu đất này nên sai tay chân đổ rác vào một số ô. Nếu một ô nào chưa có rác mà có ít nhất hai ô cạnh nó (có chung cạnh) đã bị đổ rác thì (đáng tiếc) hôm sau nhân dân cũng sẽ đổ rác vào ô đó. Nếu đến một ngày nào đó tất cả các ô đều bị đổ rác thì vua bãi rác sẽ chiểm khu đất. Nếu vua bãi rác muốn chiếm khu đất này thì lúc đầu cần đổ rác vào ít nhất mấy ô?

Giải

Ta đưa bài toán về mô hình bảng ô vuông kích thước 10 × 10 và mỗi ô bị đổ rác thì sẽ được tô đen. Mỗi bước biến đổi tương ứng với việc ta tô đen một ô chưa được tô và chung cạnh với ít nhất hai ô được tô đen. Do đó, ta chỉ cần tìm số ô đen được tô ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước biến đổi, ta có thể tô đen cả bảng. Gọi p là chu vi của tất cả các phần được tô đen. Ta chứng minh rằng sau mỗi bước biến đổi thì p không tăng. Thật vậy, do ở mỗi bước biến đổi ta tô đen một ô khi nó phải chung cạnh với ít nhất hai ô đen. Ta có các trường hợp sau: Chu vi không đổi, chu vi giảm 2 đơn vị, chu vi giảm 4 đơn vị.

Khi cả bảng được tô đen thì p' = 10 × 4 = 40. Do đó, để tô đen cả bảng ban đầu p ≥ p' = 40. Mà mỗi ô có chu vi là 4. Suy ra ban đầu cần tô ít nhất p/4 = 10 ô. Ta tô mười ô trên cùng một đường chéo chính thì sau hữu hạn bước biến đổi thì cả bảng sẽ được tô đen. Ban đầu vua cho đổ rác vào mười ô trên một đường chéo chính số 1. Ngày hôm sau các ô trên hai đường chéo chính số 2 sẽ bị đổ rác (do mỗi ô đều kề hai ô ở đường chéo số 1). Tiếp tục như vậy thì đến ngày thứ 10 cả khu đất sẽ bị đổ rác. Đáp số: 10 ô.