Ứng dụng của đạo hàm cấp 2 cho bất đẳng thức Iran TST 2013

Đề:

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $a \geq b \geq c$ . Chứng minh rằng

$$\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(c+b-\sqrt{bc})} \geq a+b+c$$

Giải.

Ta sẽ chứng minh với a,b,c là các số thực không âm.

Trước hết đặt: $a=x^2, \; b=y^2, \; c=z^2$. Cố định $x$ và $z$ và ta sẽ chứng minh rằng:

$f(y)=x\sqrt{x^2-xy+y^2}+y\sqrt{x^2-xz+z^2}+z\sqrt{y^2-yz+z^2}-x^2-y^2- z^2$

là một hàm lõm (f"(y)<0). Bất đẳng thức tương đương: $f(y)\ge 0$

$f''(y)= \frac{3x^3}{4(x^2-xy+y^2)^{\frac{3}{2}}}+ \frac{3z^3}{4(z^2-zy+y^2)^{\frac{3}{2}}}-2$

Từ điều kiện $x\ge y\ge z$ ta có: $x^2-xy+y^2 \ge \frac{3}{4}x^2$ and $y^2-yz+z^2\ge z^2$, vì vậy:

$f''(y) \leq \sqrt{\frac{4}{3}}+\frac{3}{4}-2<0$

Vì thế $f(y)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=y$ hay là khi $y=z$. Vì khi đổi $x$ và $z$ thì bất đẳng thức trên cũng không đổi, Ta chỉ cần chứng minh khi $x=y$.Bất đẳng thức tương đương:

$\sqrt{x^2-xz+z^2}(x+z)\ge x^2+z^2$

$\Leftrightarrow  \sqrt{(x^3+z^3)(x+z)}\ge x^2+z^2$. (cauchy-schwarz )

Vì thế bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra $iff x=y=z$ hay $x=y, \; z=0$ hay $y=z=0$ và các hoán vị. $\blacksquare$