Dùng tỉ số kép để chứng minh thẳng hàng

Cho tam giác ABC và E, F thuộc AC, AB. M, N thuộc BE, CF. FM cắt EN tại T. BN cắt CM tại S. Chứng minh A, S, T thẳng hàng.

Dùng biến đổi góc để chứng minh thẳng hàng

Bài: Cho $\Delta ABC$ tù ở $A$ nội tiếp $(O),$ có đường cao $AH$ và đường trung bình ứng với $BC$ là $MN(M \in AB).$

$(HMN)$ cắt $(O)$ ở $P.PM,PN$ cắt $AC,AB$ ở $X,Y.$ Chứng minh $XY$ đi qua $H.$

Lời giải:

Ta có $\angle HPM=\angle MNH=\angle MNA=\angle ACB\Longrightarrow P,X,H,C$ cùng thuộc một đường tròn

$\Longrightarrow \angle PHX=\angle PCA$. Tương tự thì $\angle PHY=\angle PBA\Longrightarrow \angle PHX=\angle PHY\Longrightarrow H,X,Y$ thẳng hàng hay $XY$ đi qua $H.\blacksquare$