Dùng tỉ số kép trong chứng minh điểm cố định

Đề bài: Cho tam giác ABC, D là điểm cố định trên BC. P là điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi $B_1$, $C_1$ lần lượt là hình chiếu của P lên CA, AB. $DB_1, DC_1$ cắt AB, AC tại $C_2, B_2$. Giao điểm khác A của đường tòn ngoại tiếp $AB_1C_1, AB_2C_2$ là Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua điểm cố định

Lời giải:

Kẻ DE, DF song song AB, AC. đường thẳng qua E, F vuông AC, AB cắt nhau tại I.

Theo tỉ số kép thì $(C_1C_2F)=D(C_1C_2FE)=D(C_2C_1EF)=(B_1B_2E)$

Ngoài ra có phép vị tự quay tâm Q do có $B_1B_2$ cắt $C_1C_2$ tại A và $QAB_1C_1$, $QAB_2C_2$ nội tiếp,

Phép vị tự quay tâm Q biến tam giác $QC_1C_2$ thành tam giác $QB_1B_2$

$QC_1C_2 \sim QB_1B_2$
Do có tỉ số kép nên $QB_2C_2 \sim QEF$

$ \Rightarrow \angle B_2QC_2= \angle EQF= 180^o- \angle FIE$

Vậy QI vuông AQ, mặt khác $PQ \perp AQ$

Vậy I, P, Q thẳng hàng

Nên PQ đi qua I cố định

Dùng tỉ số kép để chứng minh thẳng hàng

Cho tam giác ABC và E, F thuộc AC, AB. M, N thuộc BE, CF. FM cắt EN tại T. BN cắt CM tại S. Chứng minh A, S, T thẳng hàng.

Ứng dụng đường tròn điểm trong giải toán

Đề:
Cho tam giác ABC và điểm P. AP, BP, CP cắt BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi Q là điểm đẳng giác của P trong tam giác DEF. Đường thẳng qua P vuông góc với AP, BP, CP cắt BC, CA, AB tại X, Y, Z. Chứng minh X, Y, Z cùng nằm trên đường thẳng d và D vuông góc với PQ

Lời giải:

Dùng tỉ số kép với các đường lần lượt vuông góc như sau:

$P(AXYZ)=P(XABC)=A(XPBC)=A(PXCB)=A(PXYZ)$

Vậy X, Y, Z thẳng hàng.

Ý sau chứng minh khó theo Huỳnh Bách Khoa:

Ở lời giải trên ta đã dùng bổ đề sau:

Dùng tỉ số kép để chứng minh bài toán

Bài: Cho lục giác lồi AMBDNC nội tiếp trong đường tròn đường kính MN , AC=BD  . Gọi P là giao điểm của MC với AN ; Q là giao điểm của MD với  BN . Chứng minh rằng đường thẳng AD, BC chia đôi PQ.

Lời giải: