Cho $a,b,c$ là số thực không âm. CMR:$a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c)$ $\ge $ $8(ab+bc+ca)$
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c) \geqslant 4\sqrt{(a^3+b^3+c^3+9abc)(a+b+c)}.\]
Ta quy bài toán về chứng minh
\[(a^3+b^3+c^3+9abc)(a+b+c) \geqslant 4(ab+bc+ca)^2.\]
Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Schur bậc 4 qua p, q, r như sau:
Theo Schur bậc 4 thì: $p^4+4q^2-5p^2q+6rp \ge 0$
Nên ta chỉ cần chứng minh $p^2q+3rp \ge 4q^2$
Khai triển ra ta dùng AM-GM: $a^3b+b^3a \ge 2a^2b^2$ Có điều phải chứng minh.
