$\left\{\begin{matrix}
x_1=3 & & \\
x_{n+1}=\frac{3x_n-1}{x_n} & &
\end{matrix}\right.$ Xét dãy số:
$y_n=\frac{(3+\sqrt{5})^n}{2^n.x_1x_2..x_n}$ Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài giải:
Xét $f(x) = \frac{3x-1}{x} $
Có $f'(x) = \frac{1}{x^2 } >0 $
Mà mặt khác ta có $x_2 < x_1 => x_n giảm $
Mặt khác, ta có $x_1 \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} $
Giả sử $x_n \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} $ đúng với $n$, ta chứng minh đúng với $n+1 $
Tức là chứng minh
$\frac{3x_n-1}{x_n} \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} <=> x_n \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} $
Do đó ta có $x_n$ giảm, bị chặn dưới bởi $\frac{3+\sqrt{5}}{2} $ do đó, tồn tại $L$ bằng $lim x_n $
Mà khi chuyển sang giới hạn, ta tính đc $L=\frac{3+\sqrt{5}}{2} $
Mặt khác $\frac{y_{n+1}}{y_n } = \frac{3+\sqrt{5}}{2x_{n+1}} \leq 1$
Do đó $y_n $ giảm, bị chặn dưới bởi $0$
Suy ra tồn tại $L'= lim y_n $
Thay vô $L'=\frac{3+\sqrt{5}}{2L} . L' => L'=0 $
