Tọa độ tỉ cự trong mặt phẳng

Bài toán: Cho $\triangle ABC$ trực tâm $H$, $D,E,F$ là chân các đường cao từ $A,B,C$
$DK$ là đường cao của tam giác $\triangle DEF$ và $M$, $N$ là trung điểm $DK$ và $EF$, . Gọi $P$ trung điểm $BC$ Và $MN\cap BC=\{ R \}$, CMR: $AR$, $PH$ và $EF$ đồng quy

Lời giải:

Xét hệ tọa độ tỉ cự trong tam giác $\triangle DEF$.
Phương trình đường thẳng $AR$,
Chú ý rằng $B$ và $C$ là các tâm bàng tiếp của $\triangle DEF\ . \ . \ . \ \bigstar$
Theo bổ đề thì điểm Lemoine $=(d^2, e^2, f^2)$ của $\triangle DEF$ thuộc $MN$, Vì thế phương trình đường thẳng sẽ là

$$\begin{align*} & \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} 0 &  \ \ \ \frac12 & \ \ \ \frac 12 \\ \\ d^2 &  \ \ \ e^2 & \ \ \ f^2 \\ \\ x & y & z \notag \end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow d^2(y-z)-e^2x+f^2x=0 \\ & \bigstar \left\{\begin{array}{rl} B=(d,-e, f) \\ C=(d,e,-f) \end{array}\right\} \Longrightarrow BC\equiv \begin{vmatrix} d & \ \ -e & \ \ f \\ \\ d & \ \ e & \ \ -f \\ \\ x & \ \ y & \ \ z \notag \end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow z=-y\frac{f}{e} \Longrightarrow \left\{\begin{array}{rl} & y=x\frac{e(e-f)}{d^2}\\ \\ & z=-x\frac{f(e-f)}{d^2} \end{array}\right\}\Longrightarrow R=\left(d^2, e(e-f), -f(e-f)\right) \\ & \stackrel{A=(-d,e,f)}{\Longrightarrow} AR\equiv \begin{vmatrix} d^2 &  \ \ \ e(e-f) & \ \ \ -f(e-f) \\ \\ -d &  \ \ \ e & \ \ \ f \\ \\ x & y & z \notag \end{vmatrix}=0\\ & \Longleftrightarrow AR\equiv x\cdot 2ef(e-f)-y\cdot df(d+f-e)+z\cdot de(d+e-f) =0\ . \ . \ . \ \bigstar \bigstar \end{align*}$$

Giờ tìm $P$, chú ý $P$ là giao của:
$$\begin{align*}  & \underbrace{\text{(trung trực }EF)\equiv d^2(z-y)+x(f^2-e^2)=0 \text{ và} BC\equiv e\cdot z+y\cdot f=0 }_{\Big \Downarrow}\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  P=\left(d^2, e(f-e), f(e-f)\right) \end{align*}$$

Chú ý $H$ tâm nội tiếp $\triangle DEF$, vì thế $H=(d,e,f)$, vậy:
$$\begin{align*} P=\left(d^2, e(f-e), f(e-f)\right) \\ H=(d,e,f) & \Longrightarrow  PH\equiv \begin{vmatrix} d^2 & \ \ e(f-e) & \ \ f(e-f) \\ \\ d & \ \ e & \ \ f \\ \\ x & \ \ y & \ \ z \notag \end{vmatrix}=0 \\ & \Longleftrightarrow PH\equiv -y\cdot df(d+f-e)+z\cdot de(d+e-f)=0 \ . \ . \ . \ \bigstar \bigstar \bigstar \end{align*}$$

Cuối cùng:
$$\begin{align*} EF\equiv x=0 & \stackrel{\bigstar \bigstar\text{ và}\bigstar \bigstar \bigstar}{\Longrightarrow} \left. \begin{array}{c} \text{AR $\rightarrow$} \\ \\ \text{PH $\rightarrow$} \\ \\ \text{EF $\rightarrow$} \end{array} \right. \begin{vmatrix} 2ef(e-f) & \ \ -df(d+f-e) & \ \ de(d+e-f) \\ \\ 0 & \ \ -df(d+f-e) & \ \ de(d+e-f) \\ \\ 1 & \ \ 0 & \ \ 0 \notag \end{vmatrix}=0 \end{align*}$$

Vậy $AR$, $PH$ và $EF$ đồng quy $\square$