Bất đẳng thức ba biến không đồng bậc

Đề:
Cho $a,b,c$ là số thực không âm. CMR:$a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c)$ $\ge$ $8(ab+bc+ca)$

Giải:



Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$$a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c) \geqslant 4\sqrt{(a^3+b^3+c^3+9abc)(a+b+c)}.$$

Ta quy bài toán về chứng minh

$$(a^3+b^3+c^3+9abc)(a+b+c) \geqslant 4(ab+bc+ca)^2.$$

Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Schur bậc 4 qua p, q, r như sau:

Theo Schur bậc 4 thì: $p^4+4q^2-5p^2q+6rp \ge 0$

Nên ta chỉ cần chứng minh $p^2q+3rp \ge 4q^2$

Khai triển ra ta dùng AM-GM: $a^3b+b^3a \ge 2a^2b^2$ Có điều phải chứng minh.