Processing math: 100%

Thứ Bảy, 28 tháng 5, 2016

Giải hệ phương trình bằng phương pháp UCT

1: Giải hệ phương trình sau:

\left\{\begin{matrix} x^3+y^2=(x-y)(xy-1) & \\ x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1) & \end{matrix}\right.

Lời giải.

Ta thấy bậc y ở cả hai phương trình đều có bậc 2 nên ta sẽ biểu diễn theo y:

\left\{\begin{matrix} y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0 & \\ y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0 & \end{matrix}\right.

Ta cần tìm x để khi thay vào ta được hai phương trình tương đương. Tức là hệ số của chúng tỉ lệ;

\frac{x+1}{x}=\frac{x^2+1}{x^2+x-1}=\frac{x^3+x}{x^3-x^2+1}\Leftrightarrow x=1

Khi thay x=1 vào các hệ trên:

\left\{\begin{matrix} 2(y^2-y+1)=0 & \\ (y^2-y+1)=0  & \end{matrix}\right.

Suy ra: 2PT(2)-PT(1) sẽ có nhân tử x-1:

(x-1)(y^2-(x+3)y+x^2-x-2)=0

Trường hợp x=1, phương trình vô nghiệm

Trường hợp x khác 1, ta được hệ mới:

\left\{\begin{matrix} y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 & \\ y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  & \end{matrix}\right.

Tương tự ta được x=\frac{-1}{2}

Thay nó vào hệ ta rút ra được:

2PT(2)-PT(1)=(2x+1)(y^2-(x-1)y+x^2-x+2)=0

Xét trường hợp x=\frac{-1}{2}
...
Xét trường hợp x khác \frac{-1}{2}

Ta được hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix} y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0 & \\ y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 & \end{matrix}\right.

Trừ hai vế cho nhau ta có y=-1

Phần còn lại dành cho bạn đọc

Tương tự ta cũng có hệ sau:

\left\{\begin{matrix} 2(x+y)(25-xy)=4x^2+17y^2+105& \\ x^2+y^2+2x-2y=7 & \end{matrix}\right.

Tương tự, nếu ta biểu diễn theo x ta sẽ không tìm được y, nhưng nếu biểu diễn theo y ta tìm được x=2, thay x=2 vào hệ:

\left\{\begin{matrix} 21(y^2-2y+1)=0& \\ (y^2-2y+1)=0 & \end{matrix}\right. nên PT(1)-21PT(2)=(x-2)(2y^2+2xy+4y-17x-126)=0

Trường hợp x=2 đơn giản, ta xét trường hợp x khác 2:

\left\{\begin{matrix} 2y^2+2xy+4y-17x-126=0& \\ x^2+y^2+2x-2y-7=0 & \end{matrix}\right.

Đến đây phương trình vô nghiệm theo phương pháp uct 3PT(2)-PT(1)=(x-y+5)^2+2x^2+x+80=0

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc

Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...