Đa thức hệ số hữu tỉ

Đề bài: Tìm tất cả đa thức hệ số hữu tỷ $P(n)$ thoả $P(n)\mid 2^{n} - 1$ với mọi số tự nhiên $n$.

Lời giải:

Các kết quả cơ bản dùng cho lời giải
i) $n = \pm 1$ là số nguyên duy nhất thoả mãn $\pm n\mid 2^{|n|} - 1$
ii) $P(n) \mid P(P(n) + n)$
Lưu ý là ta chỉ quan tâm các đa thức nhận giá trị nguyên với $n$ tự nhiên nên ii) vẫn đúng.
Theo đó, ta có $P(n) \mid P(P(n) + n) \mid 2^{P(n) + n} - 1$. Mặt khác, $P(n)\mid 2^{n} - 1$
Tóm lại ta thu được $P(n) \mid 2^{P(n)}$. Suy ra $P(n) = 1$ hoặc $P(n) = -1$ có vô hạn nghiệm, đến đây dễ suy ra rằng $P(x) = 1$ với mọi $x$ hay $P(x) = -1$ với mọi $x$

Chứng minh i)

Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ theo Định lý Fermat nhỏ:

 

$2^{p-1} \equiv 1 (mod p)$

mà $(p-1, n)=1$ Suy ra $ord_p(2)=1$ hoặc bằng $p-1$ trường hợp bằng 1 là đơn giản.

Xét trường hợp $ord_p(2)=p-1$ Khi đó: $n=(p-1)k+r( 0<r<p-1)$

Suy ra: $2^n \equiv 2^r \equiv 1 (mod p)$ vô lí do $ord_p(2)=p-1 >r$

Vậy ta có đpcm.

ii) Ta dùng bổ đề đơn giản sau: $P(a)-P(b) \vdots a-b$