Tìm giới hạn dãy số

Bài 1 (Đề thi chọn đội tuyển Amsterdam 2016) Cho dãy số thực $(x_n)$:

$\left\{\begin{matrix} x_1=3 &  & \\ x_{n+1}=\frac{3x_n-1}{x_n} &  & \end{matrix}\right.$ Xét dãy số:

$y_n=\frac{(3+\sqrt{5})^n}{2^n.x_1x_2..x_n}$ Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài giải:




Xét $f(x) = \frac{3x-1}{x}$

Có $f'(x) = \frac{1}{x^2 } >0$

Mà mặt khác ta có $x_2 < x_1 => x_n giảm$

Mặt khác, ta có $x_1 \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Giả sử $x_n \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ đúng với $n$, ta chứng minh đúng với $n+1$

Tức là chứng minh

$\frac{3x_n-1}{x_n} \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} <=> x_n \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Do đó ta có $x_n$ giảm, bị chặn dưới bởi $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ do đó, tồn tại $L$ bằng $lim x_n$

Mà khi chuyển sang giới hạn, ta tính đc $L=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Mặt khác $\frac{y_{n+1}}{y_n } = \frac{3+\sqrt{5}}{2x_{n+1}} \leq 1$

Do đó $y_n$ giảm, bị chặn dưới bởi $0$

Suy ra tồn tại $L'= lim y_n$

Thay vô $L'=\frac{3+\sqrt{5}}{2L} . L' => L'=0$