Toán học sơ cấp

Thứ Bảy, 15 tháng 10, 2016

Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức có điều kiện

Mộtt số kỹ thuật đổi biến

1.1 Điều kiện ${a,b,c\geqslant 0}$ và $abc=1$

Trong trường hợp cần đổi biến thi có các cách đổi biến thường gặp sau

Đổi biến ${a=\frac{x}{y}}$ , $b=\frac{y}{z}$ , $c=\frac{z}{x}$
Đổi biến ${a=\frac{x^n}{y^n}}$ , $b=\frac{y^n}{z^n},$ $c=\frac{z^n}{x^n}$
Đổi biến $a=\frac{xy}{z^2}$ , $b=\frac{yz}{x^2}$ , $c=\frac{zx}{y^2}$
Đổi biến $a=\frac{x^ny^n}{z^{2n}}$ , $b=\frac{y^nz^n}{x^{2n}}$ , $c=\frac{z^nx^n}{y^{2n}}$
Đổi biến ${a=\frac{1}{x}}$ , $b=\frac{1}{y}$ , $c=\frac{1}{z}$
Đổi biến ${a=\frac{1}{x^n}}$ , $b=\frac{1}{y^n}$ , $c=\frac{1}{z^n}$
Đổi biến $a=lnx$ , $b=lny$ , $c=lnz$

(Điều kiện các biến dương chỉ dùng khi cần thiết)

1.2. Điều kiện ${xyz=x+y+z}$

Đổi biến ${x=tanA}$ , ${y=tanB}$ , ${z=tanC}$
Đổi biến ${x=cot\frac{A}{2}}$ , ${x=cot\frac{B}{2}}$ , ${x=cot\frac{C}{2}}$
Đổi biến ${x=\frac{1}{a}}$ , $y=\frac{1}{b}$ , $z=\frac{1}{c}$

1.3. Điều kiện ${\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z}$ . Đổi biến : ${x=\sqrt{\frac{bc}{a}}}$ , ${y=\sqrt{\frac{ca}{b}}}$ , ${z=\sqrt{\frac{ab}{c}}}$

1.4. Điều kiện ${ab+bc+ca=\sqrt{abc}}$ . Đổi biến : ${x=\sqrt{\frac{bc}{a}}}$ , ${y=\sqrt{\frac{ca}{b}}}$ , ${z=\sqrt{\frac{ab}{c}}}$

1.5. Điều kiện ${xyz=x+y+z+2}$ .

Đổi biến $a=\frac{1}{y+1}$ , $b=\frac{1}{y+1}$ $c=\frac{1}{z+1}$
Đổi biến ${x=\frac{b+c}{a}}$ , ${y=\frac{c+a}{b}}$ , ${z=\frac{a+b}{c}}$ , ${a,b,c\geq 1}$

1.6. Điều kiện ${x+y+z+xyz=4}$

Đổi biến ${x=\frac{2a}{b+c}}$ , ${y=\frac{2b}{c+a}}$ , ${z=\frac{2c}{a+b}}$
Đổi biến ${a=\frac{1}{x+2}}$ , ${b=\frac{1}{y+2}}$ , ${c=\frac{1}{z+2}}$
${\sqrt{xy}=2cosA}$ , ${\sqrt{yz}=2cosB}$ , ${\sqrt{zx}=2cosC}$

1.7. Điều kiện ${x^2+y^2+z^2=1}$ Đổi biến $a=\frac{xy}{z}$ , $b=\frac{yz}{x}$ , $c=\frac{zx}{y}$ . Khi đó ta sẽ có $ab+bc+ca=1$

1.8. Điều kiện ${xy+yz+zx=1}$ Đổi biến ${x=tan\frac{A}{2}}$ , ${y=tan\frac{A}{2}}$ , ${z=tan\frac{A}{2}}$

1.9. Điều kiện ${xy+yz+zx=xyz}$ Đổi biến ${a=\frac{1}{x}}$ , $b=\frac{1}{y}$ , $c=\frac{1}{z}$

1.10. Điều kiện ${x^2+y^2+z^2+2xyz=1}$ Đổi biến x=cosA, y=cosB, z=cosC

Bài tập áp dụng

Bài 1. Cho ${x,y,z}$ là các số thực dương thỏa mãn ${x+y+z=xyz}$ . Chứng minh rằng

${\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{3}{2}}$

Lời giải 1 . (Dùng đổi biến)

Đặt ${x=tanA}$ , ${y=tanB}$ , ${z=tanC}$ . Từ giả thiết ta có A,B,C là 3 góc của một tam giác và yêu cầu bài toán trở thành: chứng minh rằng ${CosA+CosB+CosC\leq \frac{3}{2}}$ . Đây là một bất đẳng thức cơ bản trong tam giác có nhiều cách chứng minh. Chẳng hạn theo bđt Jensen ${CosA+CosB+CosC\leq 3Cos\frac{A+B+C}{3}=\frac{3}{2}}$

Lời giải 2. (Dùng AM_GM)

${VT=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{xyz}{x^2\left ( x+y+z \right )+xyz}}=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{yz}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{x}{x+y}=\frac{3}{2}}$

Nhận xét: Lời giả 1 dễ dàng hơn trong suy luận, Lời giải 2 cần sự tinh tế hơn trong biến đổi

Bài 2. Cho các số thực dương ${a,b,c}$ có ${abc=1}$ . Chứng minh rằng ${\sum \frac{a}{a^2+2}\leq 1}$

Lời giải. Đặt ${x=\frac{1}{a}}$ , $y=\frac{1}{b}$ , $z=\frac{1}{c}$ . Áp dụng AM-GM ${\sum \frac{a}{a^2+2}\leq \sum \frac{a}{2a+1}=\sum \frac{1}{x+2}}$ . Ta cần chứng minh ${\sum \frac{1}{x+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum xy\geq 3}$ . Điều này hiển nhiên vì ${xyz=1}$

Bài 3. Cho các số thực ${a,b,c}$ có ${abc=1}$ . Chứng minh rằng ${\sum \frac{a+1}{a^2+a+1}\leq 2}$

Lời giải. Đặt $a=\frac{yz}{x^2}$ , $b=\frac{zx}{y^2}$ , $c=\frac{xy}{z^2}$ . Bất đẳng thức đã cho trở thành cần chứng minh ${\sum_{cyclic}\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq 1}$ . Áp dụng bđt CBS ta có ${\sum_{cyclic}\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\sum_{cyclic}\left ( x^4+x^2yz+y^2z^2 \right )}\geq 1}$ . Điều này hiển nhiên vì bđt cuối cùng tương đương với ${\sum_{cyclic}\left ( x^2y^2 \right )\geq xyz\left ( x+y+z \right )}$

Bài 4. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${x+y+z+xyz=4}$ . Tìm hằng số k tốt nhất sao cho ${x^2+y^2+z^2+3k\geq \left ( k+1 \right )\left ( x+y+z \right )}$

ĐS ${k=2\sqrt{2}+1}$

Bài 5. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${x+y+z+xyz=4}$ .Chứng minh rằng ${3\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2\geq \left ( x+2 \right )\left ( y+2 \right )\left ( z+2 \right )}$

Bài 6. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${x+y+z+2=xyz}$ .Chứng minh rằng

${xy+yz+zx\geq 2\left ( x+y+z \right )}$
${\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{xyz}}$

Bài 7. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${xy+yz+zx=\sqrt{xyz}}$ .Chứng minh rằng ${x+y+z+\left ( Max\left \{ x,y,z \right \}-Min\left \{ x,y,z \right \} \right )^2\leq \frac{1}{3}}$