Hai bài toán hình học nổi tiếng trong kì thi IMO

Đây là hai bài hình học trong kì thi toán Quốc tế được thầy Trần Quang Hùng đánh giá là đặc biệt và hay trong 7 bài hình học mà thầy đăng

Bài toán 1 (IMO 1985 bài 5 ngày 2). Đường tròn với tâm O đi qua các đỉnh A và C của tam giác ABC cắt các đoạn thẳng BA,BC lần thứ hai tại các điểm K và N. Gọi M là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN (khác B). Chứng minh rằng $∠OMB=90^o$.


Bài toán 2 (IMO 1996 bài 2 ngày 1). Cho điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho ∠APB−∠ACB=∠APC−∠ABC. Gọi D,E lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác APB,APC. Chứng minh rằng AP,BD,CE đồng quy.

Tôi xin trình bày tắt lời giải của hai bài toán.

Bài toán 1: Gọi P là giao điểm các đường thẳng AC và KN thì 4 điểm M, P, A, K cùng thuộc một đường tròn (theo định lý Miquel) ngoài ra ta cũng có M nằm trên đoạn BP.

Theo phương tích ta có:

$BO^2-PO^2=BO^2-R^2-(PO^2-R^2)=\overline{BM}.\overline{BP}-\overline{PM}.\overline{PB}=BM^2-PM^2$

Theo định lí 4 điểm ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 2:  Ta sẽ sử dụng bổ đề: Cho P là một điểm năm trong tam giác ABC. X,Y,Z lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ P xuống BC, CA, AB.

Khi đó:$PA=\dfrac{YZ}{sin A}$ và $\angle APB-\angle ACB=\angle XZY$

Bổ đề này xin dành cho bạn đọc chứng minh.

Trở lại bài toán. Ta có: $\angle APB-\angle ACB=\angle XZY$ và $\angle APC-\angle ABC=\angle XYZ$

Suy ra tam giác XYZ cân, với XY=XZ. Từ đó:

$PCsinACB=PB.sin ABC$ dùng thêm định lí hàm sin ta được

$\dfrac{AB}{PB}=\dfrac{AC}{PC}$

Nếu BD cắt AP tại W thì theo định lí Stewwart ta có $\dfrac{AB}{PB}=\dfrac{AC}{PC}=\dfrac{AW}{PW}$ và CW cũng là phân giác, ta có điều phải chứng minh.