Chứng minh đường trung bình đi qua tâm Euler

(Thầy Trần Quang Hùng) Tam giác ABC có (I) nội tiếp tiếp xúc BC tại D. M, N, P lần lượt là trung điểm AD, AI, MN. Q trên ID sao cho MQ vuông AD. R đối xứng A qua BC. Chứng minh rằng đường trung bình ứng với điểm R của tam giác RPQ đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác RBC.

Lời giải.

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC, AX đường kính, đường tòn (Q, QA) cắt (O) tại G, AG cắt BC K, L đối xứng D qua K. Dễ thấy (Q, QA) tiếp xúc BC
Nên $KL^2=KD^2=KG.KA=KB.KC$
 Suy ra $(BC,DL)=-1$, vì thế L, E, F thẳng hàng.
GX cắt ID tại Y. THì tứ giác GKYD nội tiếp, suy ra góc $\widehat{DYK}=\widehat{KGD}=180^o-\widehat{AGD}=180^o-\widehat{ADC}$ (tc tiếp tuyến dây cung)$=\widehat{ADK}=\widehat{LID}$( tam giác LID vuông có AD là đường cao).

Suy ra KY song song IL suy ra Y là trung điểm ID. Phép vị tự tâm A tỉ số 1/2 biến P thành I, O thành X nên PO vuông AG, mặt khác OQ vuông AG do AG là trục đẳng phương. nên O,P,Q thẳng hàng, nên đường trung bình của RPQ đi qua trung điểm RO, mà tâm đường tròn Euler là trung điểm của LO. Vậy ta có đpcm