Đề bài: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại M, AD cắt BC tại N. AC cắt BD tại P. K là trung điểm MN, PK cắt (O) tại H. MH, NH cắt (O) tại I, J. Chứng minh KP chia đôi IJ.
Hướng dẫn:
Gọi T là điểm Miquel, G là giao điểm của NI và MJ.
Ta có MI.MH=MA.MB=MN.MT suy ra tứ giác NTIH nội tiếp
Tương tự được tứ giác MTHJ nội tiếp
Xét tam giác GMN có INHT và HTJM nội tiếp nên theo định lý Miquel GIHJ nội tiếp hay G thuộc (O).
Theo định lý Brocard ta có:
OP.OT=R^2 nên IJ giao GH tại P. Ta cũng có G, H, K thẳng hàng từ đó suy ra GK chia đôi IJ tại P.
Cách 2: Qua P kẻ đường thẳng vuông góc OP cắt (O) tại I, J như hình vẽ, Gọi H là giao điểm MI và (O), Ta sẽ chứng minh N,H, J thẳng hàng và P, H, K thẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm HIADCJ Ta có M, X, N_1 thẳng hàng (N_1 là giao của AD và JH) \Rightarrow AD \cap MX \equiv N_1 nên N trùng N_1 hay N, H, J thẳng hàng.
Mặt khác theo định lý Brocard thì OP vuông MN nên IJ song song MN. Lại do P là trung điểm IJ nên P, H, K thẳng hàng. Như vậy ta có đpcm
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
Định nghĩa 1: Một số nguyên a được gọi là thặng dư bình phương mod n nếu tồn tại số nguyên x sao cho x^2 \equiv a (mod n) Ta cũng có th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét