Chứng minh tâm ngoại tiếp thuộc đường tròn

Bài toán (IMO Shortlisted 2002): Cho trước đường tròn (O) và hai điểm A, B sao cho AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Lấy điểm C không nằm trên (O) sao cho AC cắt (O) tại hai điểm phân biệt, dựng đường tròn (w) tiếp xúc AC tại C, tiếp xúc với (O) tại D sao cho B, D nằm về hai phía của đường thẳng AC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên (ABC).

Lời giải:

Gọi I J thứ tự là tâm của (w) và (BCD), t là tiếp tuyến chung tại D của (O) và (w).
Từ giả thiết suy ra O, J nằm trên trung trực BD và I, J nằm trên trung trực CD suy ra
- Phép đối xứng trục OJ biến BA thành t
-phép đối xnwgs trục IJ biến DJ thành CJ và Dt thành AC. Khi đó:
$(BA;BJ) \equiv (DJ,t) \equiv (CA,CJ) (mod \pi)$

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét: Qua phép đối xứng trục bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.