Phép nghịch đảo trong đề thi Canada

Đề bài: (Canada 2007): Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F tương ứng.  Gọi $\omega,\,\omega_{1},\,\omega_{2}$ và $\omega_{3}$ là lượt là đường tròn ngoại tiếp $ABC,\, AEF,\, BDF$ và $CDE$

Gọi $\omega$ và $\omega_{1}$ cắt tại $A$ và $P,\,\omega$ và $\omega_{2}$cắt nhau tại $B$ và $Q,\,\omega$ và $\omega_{3}$cắt nhau tại $C$ and $R.$

 CMR:  a) $\omega_{1},\,\omega_{2}$ và $\omega_{3}$ đồng quy

b) $PD,\, QE$ và $RF$ đồng quy

Giải:

a) Dễ thấy $\omega_{1},\,\omega_{2}$ và $\omega_{3}$ cùng đi qua I

b) Qua phép nghịch đảo tâm I ta đưa về bài toán. Cho tam giác DEF có A, B, C là trung điểm của EF, DF, DE. (ABC) cắt EF tại A', DF tại B', DE tại C'. CMR (IDA'), (IEB'), (IFC') đồng quy tại một điểm khác I

Dễ thấy trực tâm H của tam giác DEF có cùng phương tích với 3 đường tròn này và ta có I là điểm chung của 3 đường tròn, suy ra IH là trục đẳng phương chung của 3 đường tròn. Giả sử đường tròn thứ nhất giao với đường tròn thứ 2 và thứ 3 tại hai điểm U, V khác nhau khi đó U, V, I thẳng hàng và đường thẳng UV cắt đường tròn tại 3 điểm (vô lí) Vậy ta có đpcm