Bất đẳng thức Bonse

Cho $p_1=2, p_2=3,..$ là dãy tăng các số nguyên tố. Chứng minh rằng:

$p_1p_2..p_n >p_{n+1}^2$

Giải.

Đặt $A_k=p_1p_2...p_k$ và $a_k=k.p_1p_2..p_{n-1}-p_n$ với $1 \le k \le p_n -1$. Ta thấy rằng $a_k$ không chia hết cho $p_i$ (với i=1,..n) suy ra $a_k \ge p_{n+k}$ (Do là dãy tăng). Chọn k=$p_n-1$ ta được $a_k=A_n-A_{n-1}-p_n>p_{p_n+n-1}>p_{3n-1}$ ( có thể chứng minh $p_n \ge 2n$ bằng quy nạp). Từ đây ta nhận thấy với $n \ge 6$ thì

$p_1..p_n>(p_1..p_{[n/2]})^2>p_{3[n/2]-1}^2>p_{n+1}^2$