Về câu hình học đề thi Israeli

Đề: Cho PQ là đường kính của đường tròn H. Đường tròn (O) tiếp xúc trong với H và tiếp xúc PQ tại C. Gọi A là điểm trên H và B là một điểm trên PQ sao cho AB vuông PQ và tiếp xúc với (O). Chứng minh rằng AC là phân giác góc PAB.

Giải.

Cách 1: Gọi M là tâm của H. (O) tiếp xúc trong với H tại X, tiếp xúc AB tại Y. Để ý rằng góc PXQ=90 độ

Vậy $QC^2=QX.QY=QB.QP=QA^2$ suy ra $QA=QC$

Lấy đối xứng của C qua Q gọi là C'.

Thì AB là đường đối cực của C' với (O). Suy ra: $(PB,CC')=-1$ ( hoặc có thể chiếu theo điểm A). Vì thế AC là phân giác góc PAB.

Cách 2: Gọi A' đối xứng A qua PQ.
Áp dụng định lý Lyness mở rộng ta có AC đi qua tâm nội tiếp tam giác PAA' mà PB là phân giác góc APA'. Như vậy C là tâm nội tiếp của tam giác.

Vậy AC là phân giác góc PAB.

Nguồn: https://cms.math.ca/crux/v24/n4/page196-207.pdf trang 201