Trường hợp nhỏ của định lý nổi tiếng của Erdos và Selfridge

Một định lý nổi tiếng của Erdos và Selfridge, một giả thuyết hơn 150 năm, nói rằng: Tích các số tự nhiên liên tiếp không thể là lũy thừa của một số nguyên.

Ta xét trường hợp tích 3 số tự nhiên liên tiếp.

Gọi n là số nguyên, và ta viết bài toán lại:

$n(n+1)(n+2)=x^z(x,z \in N, z \ge 2)$

Chú ý rằng: $n(n+2)=(n+1)^2-1$

Nên:

$\left\{\begin{matrix} n+1=a^z & \\ (n+1)^2-1=b^z & \end{matrix}\right.(a,b)=1\Rightarrow a^{2z}-b^z=1\Rightarrow (a^2-b)(..)=1\Rightarrow a^2=b+1\\\Rightarrow (b+1)^z-b^z=1 \Rightarrow z=1$

Vậy không tồn tại z thỏa mãn đề bài hay ta đã cm cho trường hợp $n=3$