Đánh giá từng số hạng trong bất đẳng thức

Đề: Cho ba số thực dương a,b,ca,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng


$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2} \geqslant 2.$

Lời giải:

Ta có:

$$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{2(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}\geq 0,\text{đúng}$$

Do đó:

$$\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum (a+b).\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{1}{3}(a+b)=2$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$