Từ đẳng thức cho đến bất đẳng thức

Ta có đẳng thức sau:


Cho $xyz=1$ thì khi đó:

$\sum \frac{1}{xy+x+1}=1$

Ứng dụng:

Bài 1; (APMO 2016)


Cho ba số dương x,y,zx,y,z thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(x+1)^2+y^2+1} + \frac{1}{(y+1)^2+z^2+1} + \frac{1}{(z+1)^2+x^2+1} \leqslant {\frac{1}{2}}.$

Lời giải:

Áp dụng $AM-GM:$

$$\sum \frac{1}{(x+1)^2+y^2+1}=\sum \frac{1}{x^2+2x+1+y^2+1}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{xy+x+1}=\frac{1}{2}(\text{do }xyz=1)$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$

Bài 2 (Romanian JBMO TST 2016). Với a,b,ca,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện abc⩾1. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6} \le \dfrac{1}{3}.$

Lời giải:

Vì $abc \geq 1$ nên tồn tại $k \geq 1$ và $a',b',c'>0$ sao cho $a=ka', b=kb', c=kc'$ và $a'b'c'=1$.

Suy ra $a\geq a', b\geq b', c\geq c'$.

Do đó
$$\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^3+2b^3+6}\leq \sum_{a',b',c'}\frac{1}{a'^3+2b'^3+6}=\sum_{a',b',c'}\frac{1}{(a'^3+b'^3+1)+(b'^3+1+1)+3}\leq \frac{1}{3}\sum_{a',b',c'}\frac{1}{a'b'+b'+1}=\frac{1}{3}.$$
Ta có đpcm.