Dùng pqr để chứng minh bất đẳng thức

Bài 1:

Cho ba số thực

a⩾b⩾1⩾c⩾0a⩾b⩾1⩾c⩾0 thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.
 Chứng minh rằng
 $\frac{24}{a^3+b^3+c^3} + \frac{25}{ab+bc+ca} \geqslant 14.$ Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải:



Đặt $q=ab+bc+ca, r=abc.$

$1.$ Vì $(1-a)(1-b)(1-c)=q-r-2\geq 0$ nên $q\geq r+2\geq 2.$

Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$ nên $ab+bc+ca\leq 3.$

$2.$ Bất đẳng thức tương đương

$$\frac{8}{9-3q+r}+\frac{25}{q}\geq 14$$

mà ta lại có $r\leq q-2$ nên ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{8}{7-2q}+\frac{25}{q}\geq 14$$

$$\Leftrightarrow 7(2q-5)^2\geq 0.$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{2+\sqrt{2}}{2}, b=1, c=\frac{2-\sqrt{2}}{2}.$

Bài 2:

$x,y,z >0$ và $x^2+y^2+z^2=3$.CMR: $\sum \frac{1}{7-xy} \leq \frac{1}{2}$

Lời giải:

Bất đẳng thức tương đương
$$294-28(xy+yz+xz)+2xyz(x+y+z)\leq 343-49(xy+yz+xz)+7xyz(x+y+z)-(xyz)^2$$
$$\Leftrightarrow 21(xy+yz+xz)+(xyz)^2\leq 49+5xyz(x+y+z)$$
Đặt $x+y+z=p,xy+yz+xz=q,xyz=r$ và $p^2-2q=3$, Ta cần chứng minh
$$21q+r^2\leq 49+ 5pr$$
Vì $r^2\leq 1$ Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn
$$21q\leq 48+5pr$$
Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, $r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{p(2q-3)}{9}$, Ta cần chứng minh rằng
$$21q\leq 48+\frac{5p^2(2q-3)}{9}=\frac{20q^2-45}{9}$$
$$\Leftrightarrow (q-3)(q-\frac{129}{20})\geq 0 \ \text{(Luôn đúng)} \ q\leq 3$$ .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.