Dùng đạo hàm để giải bất đẳng thức

Đề:

Cho a, b, c là các số thực không âm đôi một khác nhau

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left [ (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2} \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}} \right ]$

Lời giải:

Giả sử $a > b > c \ge 0$
Khi đó $P= \Big[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \Big].\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\right]$
$\ge \left[ (a+b)^2 +a^2+b^2\right] .\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right]$
$=2\left[(a+b)^2-ab \right].\left[ \frac{1}{(a+b)^2-4ab}+\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}-\frac{2}{ab}\right]$
BDT đã cho có dạng thuần nhất nên chuẩn hóa $a+b=1,$ đặt $ab=x,0< x \le \frac 14$
Khi đó $\frac F2 \ge(1-x)\left( \frac{1}{1-4x}+\frac{1}{x^2}-\frac 2x\right)$
$=3+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+\frac{3x}{1-4x}$
Khảo sát hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+\frac{3x}{1-4x}$ trên $\left[0;\frac 14 \right)$
Ta thu được $\min f(x)=\frac{35+11\sqrt{33}}{8}$
Từ đó suy ra $F \ge \frac{59+11\sqrt{33}}{4}$
$\min F=\frac{59+11\sqrt{33}}{4}$ đạt được chẳng hạn khi $a,b$ là 2 nghiệm của pt $x^2-x+\frac{13-\sqrt{33}}{34},c=0$