Hong Kong TST 2016

Đề:  Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}.$
Lời giải:

Ta có:
$\sum \frac{a^{3}+8}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{1}{b+c}+\sum \frac{8}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\sum \frac{8(bc)^{2}}{a(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{8(bc+ca+ab)^{2}}{2(ab+bc+ca)}(1)$

Ta đã có $ab+bc+ca \ge 3$, ta cần tìm đánh giá $(ab+bc+ac)^2\ge k(a+b+c)$

(1) tương đương:

$\frac{9}{2(a+b+c)}+(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\sqrt{3abc(a+b+c)}+3.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}+\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}+9\geq 3\sqrt[3]{\frac{27}{8}}+9=\frac{27}{2}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$