Đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức

Đề bài: Cho ba số thực dương 
$a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng
$\sqrt{\frac{b}{a^2+3}}+\sqrt{\frac{c}{b^2+3}}+\sqrt{\frac{a}{c^2+3}} \leqslant \frac32\sqrt[4]{\frac{1}{abc}}.$

Lời giải

Ta sẽ cố gắng đưa về bất đẳng thức đồng bậc

Vế phải của bất đẳng thức thực ra là $\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{\sqrt[4]{abc}}=\dfrac{a+b+c}{2\sqrt[4]{abc}}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì $a^2+3\geq 4\sqrt{a}$ nên $VT\leq \sum \dfrac{\sqrt{b}}{2\sqrt[4]{a}}$

Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\cdots$ thì ta chỉ cần chứng minh $\sum \dfrac{y^2}{x}\leq \dfrac{x^4+y^4+z^4}{xyz}\Leftrightarrow x^3y+y^3z+z^3x\leq x^4+y^4+z^4$

Bất đẳng thức trên chứng minh khá dễ bằng AM-GM