Bài tổ hợp nhỏ

Bài toán: Có một số học sinh xếp thành một vòng tròn. Cô giáo yêu cầu các bạn học sinh đứng cạnh nhau bắt tay nhau. Gọi b là số học sinh nam, g là số học sinh nữ, B là số cặp học sinh nam bắt tay nhau và G là số cặp học sinh nữ bắt tay nhau. Chứng minh rằng: b-g=B-G. 

Lời giải của bài toán rất đơn giản như sau:

Dĩ nhiên số học sinh là $1$ thì không có gì để nói. Ta sẽ xét số học sinh từ $2$ trở lên
i) Với số học sinh là hai, ta xét là TRAI - TRAI, GÁI - GÁI, GÁI - TRAI thì thấy khẳng định bài toán đúng.
ii) Bây giờ giả sử bài toán đúng với số học sinh $n$. Bây giờ ta thêm một em học sinh vô. Vai trò mấy em này như nhau, nên giả sử ta thêm bạn nữ vào
Khi đó $B' = B$ và $G' = G + 1$.
a) TH1. Ta nhét em ấy vào giữa GÁI - GÁI thì $b' = b$ và $g' = g + 1$. Khi đó $B' - G' = B - G - 1 = b - g - 1 = b' - g'$.
b) TH2. Ta nhét em ấy vào giữa TRAI - GÁI thì $b' = b$ và $g' = g + 1$. Tương tự trên ta cũng có đpcm.
c) TH3. Ta nhét em ấy vào giữa TRAI - TRAI thì $b' = b - 1$ và $g' = g$. Lúc đó $B' - G' = B - G - 1 = b - 1 - g = b' - g'$. Xong.