|\alpha -\frac{p}{q}| <\frac{1}{q^2}
Lời giải:
Trước hết ta chứng minh với mọi N \ge q luôn tồn tại p,q thỏa mãn:
|\alpha -\frac{p}{q}| <\frac{1}{qN}
Thật vậy ta chia các [0;1) thành các khoảng [\frac{k-1}{N};\frac{k}{N})(k =\overline{1,N})
Thì theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại hai số { \alpha q_i } và { \alpha q_j } thuộc vào một đoạn ( q= 0,1,..N)
\Rightarrow \left | \begin{Bmatrix} \alpha q_i \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix} \alpha q_j \end{Bmatrix} \right |<\frac{1}{N(q_i-q_j)}\\\Rightarrow \left | \alpha -\frac{\begin{bmatrix} \alpha q_i \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \alpha q_j \end{bmatrix}}{q_i-q_j} \right | <\frac{1}{N(q_i-q_j)} Điều phải chứng minh.
Ta giả sử chỉ có hữu hạn các số p,q thỏa mãn đề bài Kí hiệu tập này là X.
Khi đó sẽ tồn tại M sao cho |\alpha -\frac{p}{q}| >M
Chọn N sao cho \frac{1}{M}<N Khi đó tồn tại các số nguyên dương p_i, q_i sao cho
|\alpha -\frac{p_i}{q_i}| <\frac{1}{q_iN} <\frac{1}{q_iN}<\frac{1}{q_i^2}
Suy ra p_i,q_i thuộc X, nhưng M >\frac{1}{q_iN} (mâu thuẫn)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét