Processing math: 100%

Thứ Hai, 15 tháng 8, 2016

Định lý Dirichle

(Định lí Dirichle) Cho \alpha là một số vô tỉ. Chứng minh rằng, tồn tại vô hạn các số nguyên p,q với q>0 sao cho:

|\alpha -\frac{p}{q}| <\frac{1}{q^2}

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh với mọi N \ge q luôn tồn tại p,q thỏa mãn:

|\alpha -\frac{p}{q}| <\frac{1}{qN}

Thật vậy ta chia các [0;1) thành các khoảng [\frac{k-1}{N};\frac{k}{N})(k =\overline{1,N})

Thì theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại hai số { \alpha q_i } và { \alpha q_j } thuộc vào một đoạn (  q= 0,1,..N)

\Rightarrow \left | \begin{Bmatrix} \alpha q_i \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix} \alpha q_j \end{Bmatrix} \right |<\frac{1}{N(q_i-q_j)}\\\Rightarrow \left | \alpha -\frac{\begin{bmatrix} \alpha q_i \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \alpha q_j \end{bmatrix}}{q_i-q_j} \right | <\frac{1}{N(q_i-q_j)} Điều phải chứng minh.

Ta giả sử chỉ có hữu hạn các số p,q thỏa mãn đề bài Kí hiệu tập này là X.

Khi đó sẽ tồn tại M sao cho |\alpha -\frac{p}{q}| >M

Chọn N sao cho \frac{1}{M}<N Khi đó tồn tại các số nguyên dương p_i, q_i sao cho
|\alpha -\frac{p_i}{q_i}| <\frac{1}{q_iN} <\frac{1}{q_iN}<\frac{1}{q_i^2}

Suy ra p_i,q_i thuộc X, nhưng M >\frac{1}{q_iN} (mâu thuẫn)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc

Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...