Bài toán về sự phân bố số chính phương và số nguyên tố

Bài toán: Xét tất cả các số nguyên tố $p_1 < p_2 <..p_n<..$ Đặt $a_n=p_1+p_2+..+p_n$. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, nằm giữa $a_n$ và $a_{n+1}$ có ít nhất một số chính phương.

Giải:
Bổ đề: Với $n \ge 4$ thì $p_{n+1} > 2\sqrt{p_1+p_2+..+p_n}+1$
Chứng minh:
Với n=4, đúng.

Giả sử đúng với n=k tức là:
$p_{k+1} > 2\sqrt{p_1+p_2+..+p_k}+1$

Hay là $(p_{k+1}-1)^2 >4 (p_1+p_2+..+p_k)$

Ta cần chứng minh: $(p_{k+2}-1)^2 >4 (p_1+p_2+..+p_{k+1})$

Hay chỉ cần chứng minh: $(p_{k+2}-1)^2 \ge (p_{k+1}-1)^2 +4p_{k+1}$

Điều này tương đương $(p_{k+2}-p_{k+1})(p_{k+2}+p_{k+1}-2) \ge 4p_{k+1}$

Điều này là hiển do khoảng cách 2 số nguyên tố liên tiếp bé nhất là 2. Vậy ta có đpcm

Quay lại bài toán
Với n=1, thì giữa 2 và 5 tồn tại 4 là số chính phương.
Tương tự cho n=2,3,4

Giả sử đúng với n=k tức là giữa $a_k$ và $a_{k-1}$ tồn tại ít nhất một số chính phương, ta gọi $a^2$ là số chính phương lớn nhất trong các số chính phương đó.

$(a+1)^2 > a_{k}$

Áp dụng bổ đề thì $p_{k+1}>2a+1$ nên $a_{k+1} >(a+1)^2$.