Các bài bất đẳng thức trong đề thi hsg tỉnh, thành phố

Bài 1 (Thái Bình) : Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{(3a-1)^2}{2a^2+1}\ge4$

Bài 2: (TP HCM) Chứng minh rằng với mọi a,b, c dương ta đều có:

$\sum \frac{1}{a(1+b)}\ge\frac{3}{1+abc}$
Bài 3: (PTNK): Cho a,b,c dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{3+2(a^2-bc)}\ge1$
Giải:

Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức C-S ta đưa về chứng minh:

$(a^2+b^2+c^2)+18(ab+bc+ca-a-b-c)-3 \ge 0$

Đặt VT= f(a,b,c), đặt $t=\sqrt{ab}$

$f(a,b,c)-f(t,t,c)=a^2+b^2-2ab+18((c-1)(a+b)-(c-1)2t) \ge 0$ Đúng nếu ta giả sử c=max

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

$2t^2+c^2+18(t^2+2tc-2t-c)-3 \ge0$

Do $c.t^2=1$

Sau khi rút gọn ta sẽ đưa về:
$(t-1)^2(t+1)(5t+1)(2t-1)^2 \ge 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1, a=b=1/2, c=4

Bài 2:

Bất đẳng thức tương đương:

$\sum \frac{1+abc}{a(1+b)}\ge 3 \Leftrightarrow \sum (1+\frac{1+abc}{a(1+b)})\ge 6\\\Leftrightarrow \sum (\frac{a+1+ab(c+1)}{a(1+b)})\ge 6 \Leftrightarrow \sum (\frac{a+1}{a(1+b)}+\frac{a(b+1)}{1+a})\ge6$ (đúng theo AM-GM)

Bài 3:

Đặt ab=x, bc=y, ca=z ta đưa về bất đẳng thức:

x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1, và:

$\sum \frac{x}{3x+2yz-x^2}\ge1$

Nhận xét mẫu số là số dương do 3x+2yz-x^2=3x(x+y+z)+2yz-x^2 >0. Áp dụng bdt C-S:

$\sum \frac{x}{3x+2yz-x^2}\ge \frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3-3xyz)}=\frac{1}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}=1$