Ý tưởng đối xứng hóa trong chứng minh bất đẳng thức

Đề bài: (China TST 2006):

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lời giải:



$(\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+yz} } ) ^2 \leq (\sum (xy+xz ) )(\frac{x^2y^2}{(xy+yz)(xy+xz)} ) = (2 \sum xy)(\frac{\sum x^2y^2(yz+xz) }{(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)}$

Mà $\frac{\sum x^2y^2(yz+xz) }{(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)}= \frac{\sum xy(x+y) }{(x+y)(y+z)(x+z) }$

Do đó, ta cần chứng minh $(2 \sum xy ).\frac{\sum xy(x+y) }{(x+y)(y+z)(z+x) } \leq \frac{1}{2}$

Đặt $a+b+c=p , ab+bc+ca =q , abc=r$

Chuyển $pqr$, ta cần chứng minh $r(12q-1) \geq 4q^2-q$

TH1: $\frac{1}{4} \leq q \leq \frac{1}{3}$

Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.

TH2: $\frac{1}{12} \leq q \leq \frac{1}{4}$ thì ta có đpcm do $VT \geq 0 \geq VP$

TH3: $0 \leq q \leq \frac{1}{12}$ Khi đó, ta có cả 2 vế đều âm

Do đó đổi dấu, ta cần chứng minh $r(1-12q) \leq q-4q^2$

Hay $r \leq \frac{q-4q^2}{1-12q}$

Mà ta có $pq \geq 9r \Rightarrow r \leq \frac{q}{9}$ ( do $p=1$ )

Khi đó, ta cần chứng minh $\frac{q}{9} \leq \frac{q-4q^2}{1-12q} \Leftrightarrow q \leq \frac{1}{3}$ đúng

Vây ta có đpcm.