Dùng dãy số để giải phương trình hàm

(PTNK 2014) Tìm tất cả các hàm số f: N* --> N* thỏa mãn hệ thức $f(f(n)/n) = n^2$ với mọi n nguyên dương. N* ký hiệu tập hợp các số nguyên dương.

Giải:

Đặt $f(n)=ng(n)$ thì $g: N^*-> N^*$.
Khi đó $f(\frac{f(n)}{n})=n^2 \Leftrightarrow  g(n)g(g(n))=n^2$.
Lấy logarit hai vế ta có: $ln{g(n)}+ln{g(g(n))}=2ln{n}$.
Đến đây ta xét dãy sau:
$u_0=ln{x};x\in N^*$ và $u_n=ln{g_n(x)}$ trong đó $g_n(x)=g(...g(n)...)$ với n lần lấy hàm g.
Ta có: $u_n\geqslant0$ và $u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n=0$.
Công thức tổng quát: $u_n=\frac{2ln{x}+ln{g(x)}}{3}+\frac{ln{x}-ln{g(x)}}{3}(-2)^n$.
Nếu tồn tại $x$ sao cho $ln{x}-ln{g(x)}<0$ thì $u_{2n}<0$ với n đủ lớn (mt)
Nếu tồn tại $x$ sao cho $ln{x}-ln{g(x)}>0$ thì $u_{2n+1}<0$ với n đủ lớn (mt).
Vậy $ln{g(x)}=ln{x}$ với mọi $x \in N^*$. Suy ra $f(n)=n^2$