Chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

Bài toán: (Hải Phòng 2016) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, E là điểm trên đoạn BC sao cho BD=CE. Phân giác ngoài đỉnh A cắt đường thẳng qua D và vuông góc với BC tại F. I là trung điểm DF, đường thẳng EI cắt AD tại M, đường thẳng EF cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại K.
a) Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại P, KD cắt đường tròn đường kính DF tại L (khác D). Chứng minh rằng đường thẳng PL tiếp xúc với đường tròn đường kính DF.
b) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác KBC.

Lời giải:

a) Gọi N là giao điểm của KM và BC. Do I là trung điểm DF, DF// NK nên EI đi qua trung điểm NK. hay M là trung điểm NK
Ta có (LADF)=D(LADF)=D(KMNF)=-1 Vậy tứ giác ALFD điều hòa

Suy ra: tiếp tuyến tại L, AF, tiếp tuyến tại D đồng quy tại P hay PL là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DF

b) Kẻ, BX, CY lần lượt là tiếp tuyến tới [DF]
(DXLY)=D(DXLY)=I(DBPC)=-1.Nên tứ giác DXLY điều hòa. Như vậy BX, CY, DL đồng quy

Gọi d là đường thẳng qua I song song BC, P là giao điểm EF và (I), M là trung điểm BC
Ta có:  (XYFP)=D(XYFP)=I(BCdM)=-1

Vậy tiếp tuyến tại X, Y, và FP cũng đồng quy.
Ta có đpcm

Nhận xét: Thực ra đây là bài toán ngược của bài toán: Cho tam giác ABC có (I) nội tiếp. (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. EF cắt BC tại P. AD cắt (I) tại L. Khi đó PL là tiếp tuyến thứ 2 của (I).