Dùng bậc và hệ số cao nhất trong bài toán đa thức.

Bài toán (Hà Nam 2016):

Cho $P,Q,R$ là $3$ đa thức hệ số thực thỏa mãn: $P(Q(x))+P(R(x))=c$ $\forall x\in\mathbb{R}$ với $c=const\in\mathbb{R}$

CMR: $P(x)\equiv const$ hoặc $[Q(x)+R(x)]\equiv const$


Lời giải:


Đặt $deg P(x)=p$ và không mất tính tổng quát giả sử $deg Q(x)=q \ge r=degR(x)$. Nếu $P(x)\equiv const$ hoặc $Q(x)\equiv const$ thì khi đó $R(x)\equiv const$ nên hai trường hợp này là hiển nhiên. Ta xét $p,q >0$, $r \ge 0$

Đặt $C_k (f(x))$ là hệ số của $x^k$ trong đa thức $f(x)$, vì thế $C_{\deg f(x)} (f(x)) \neq 0$ là hệ số cao nhất của $f(x)$. Đặt $a = C_{\deg P(x)} (P(x))$, $b = C_{\deg Q(x)} (Q(x))$, $c = C_{\deg R(x)} (R(x))$.
Nếu $q>r$, Khi đó $C_{pq} (P(Q(x)) + P(R(x))) = ab^p \neq 0$, Vô lí. Vì thế ta phải có $q=r=m$, $\Rightarrow$ $C_{pm} (P(Q(x)) + P(R(x))) = a(b^p +c^p)\neq 0$, Theo điều kiện giả thiết thì $b^p + c^p = 0$, dẫn tới $p$ lẻ và $c=-b$.


Xét $a(Q(x)^p + R(x)^p) = a(Q(x)+R(x)) S(x)$, Trong đó $S(x) = Q(x)^{p-1} - Q(x)^{p-2}R(x) + \cdots - Q(x)R(x)^{p-2} + R(x)^{p-1}$. Ta có $C_{(p-1)m}(S(x)) = b^{p-1} - b^{p-2}(-b) + \cdots - b(-b)^{p-2} + (-b)^{p-1} = pb^{p-1} \neq 0$, nên $\deg S(x) \geq (p-1)m$ (Thực ra là bằng luôn).


Mặt khác nếu đặt $T(x) = P(Q(x)) + P(R(x)) - a(Q(x)^p + R(x)^p)$ ta có $\deg T(x) \leq (p-1)m$. Giả sử ngược lại $Q(x)+R(x)$ không là hằng số, $\Rightarrow$ $\deg(Q(x)+R(x)) \geq 1$, Ta phải có $\deg(a(Q(x)^p + R(x)^p)) = \deg(a(Q(x)+R(x)) S(x)) \geq 1 + (p-1)m$, và vì thế $\deg(P(Q(x)) + P(R(x))) = \deg(a(Q(x)^p + R(x)^p) + T(x)) \geq 1+(p-1)m >0$, Mâu thuẫn.


Vậy ta có đpcm.
Ps: Nếu tồn tại $Q,R$ mà $Q(x) + R(x) = C$ là hằng số, ta vẫn có thể tìm đa thức $P$ khác hằng bậc$p$ lẻ bất kì, để $P(Q(x)) + P(R(x))$ là hằng số. Chỉ cần lấy $P(x) = (2x-C)^p + k/2$