Phép nghịch đảo để chứng minh thẳng hàng

Bài toán: Gọi $H,O$ là trực tâm và tâm ngoại tiếp $\Delta ABC$. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler của $\Delta HBC$ cắt nhau tại $\{M,N \}$. Gọi $O^*$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMN$ và $L$ là trung điểm của $OA$. Chứng minh rằng $H,O^*,L$ thẳng hàng            

Lời giải:

Gọi    $A’,B’,C’$ là chân đường cao đến các cạnh $BC,CA,AB.$ $F$ là trung điểm $BC$  Gọi $B’C’$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại $B’',C’'.$ Vì $(B,C,A’,P) =- 1,$ nên  $PB \cdot PC = PA’ \cdot PF$ $\Longrightarrow$ $PB’' \cdot PC’' = PA’ \cdot PF$ $\Longrightarrow$ $F \in \odot(A’B’'C’').$ Vì thế tâm của $\odot(A’B’'C’')$ là đường thẳng qua vuông góc từ $A$ đến $B’C’$ giao với trung trực $A’F,$ chính là trung điểm $L$ của $AO.$ Phép nghịch đảo $\mathcal{I}$ tâm $H,$ biến $(O)$ thành đường tròn chín điểm $\mathcal{N},$ và biến $B’C’$ thành đường tròn ngoại tiếp $\triangle HBC$ và $\odot(A’B’'C’')$ thành đường tròn đi qua $A$ và Giao điểm $M,N$ của $\mathcal{N}$ và $\odot(HBC),$ Là ảnh của $A’,C’',B’'$ $\Longrightarrow$ phép nghịch đảo tâm $H,$ biến tâm ngoại tiếp $L$ của $\odot (A’B’'C’')$ và tâm $O^*$ của tam giác $\odot(AMN)$ thẳng hàng.