Dùng bất đẳng thức Muirhead để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ không âm và $abc=1$ Thì
$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge 1$$

Lời giải:

$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge 1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(2a^2b^2+a^2b+a^2c+a^3-a^2-3a-1)\geq0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(a^3-a^2)+2\cdot\sum_{cyc}(a^2b^2-a)+\frac{1}{2}\cdot\sum_{cyc}(a^2b+a^2c-2a)+$
$+\frac{1}{2}\cdot\sum_{cyc}(a^2b+a^2c-2)\geq0.$ Đúng theo Muirhead.

Ngoài ra $k_{max}=5,$
$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{k}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge \frac{k+3}{8}$$