Dồn biến về biên để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán:  $a,b,c$ là các số thực dương chứng minh:
            $\frac{a}{4a+4b+c} + \frac{b}{4b+4c+a} + \frac{c}{4c+4a+b} \leq \frac{1}{3}$

Lời giải:

Ta nhân hai vế cho a+b+c rồi chuyển về bài toán sau:

 $a,b,c>0$.CM:$\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4a+4c+b}+\frac{ac}{4b+4a+c}\leq \frac{a+b+c}{9}$

Trớ trêu thay bất đẳng thức này nếu xét a,b,c không âm thỏa mãn phân thức có nghĩa thì dấu bằng còn xảy ra khi a=0, b=2c !!

Không thể chứng minh $f(a,b,c) \ge f(a,t,t)$ được, ta sẽ dùng dồn biến về biên như sau:

Bdt tương đương
$$27(a^2b+b^2c+c^2a+abc) \leqslant 4(a+b+c)^3.$$
Đặt $f(a,\,b,\,c) = 27(a^2b+b^2c+c^2a+abc) - 4(a+b+c)^3,$ Ta chỉ ra rằng
$$f(a,\,b,\,c) \leqslant f(a+c,\,b,\,0) \leqslant 0.$$
Giả sử$b$ là số nằm giữa $c$ và $a,$ ta có
$$f(a,\,b,\,c)-f(a+c,\,b,\,0)=-27c(a-b)(b-c) \leqslant 0.$$
Vì thế
$$\begin{aligned} f(a,\,b,\,c) \leqslant f(a+c,\,b,\,0) & = 27b(c+a)^2-4(a+b+c)^3\\&=-(4a+b+4c)(a-2b+c)^2 \leqslant 0.\end{aligned}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,\,b,\,c) \sim (1,\,1,\,1)$ or $(a,\,b,\,c) \sim (0,\,1,\,2).$

Ngoài ra, một cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz rất đẹp:

$\sum_{cyc}\frac{ac}{4a+4b+c}=\frac{1}{9}\sum_{cyc}\frac{ac(2+1)^2}{2(2a+b)+(2b+c)}\leq\frac{1}{9}\sum_{cyc}\left(\frac{2ac}{2a+b}+\frac{ac}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}$