Một số tính chất số học của dãy tuyến tính

Cho dãy $(x_n)$ sao cho:
$x_0=1, x_1=1$, $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (a,b \in Z)$

Khi đó ta có:

1)$x_{m+n}=bx_{n}x_{m-1}+x_{n+1}x_{m}$

2) $x_{kn} \vdots x_n$

Ứng dụng:

Mở rộng đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình 2016: Giả sử $p,q$ là hai số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:

$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=pu_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$

Tìm tất cả $p,q$ biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$

áp dụng tính chất 2) suy ra $u_3 |3 $ hay  $p^2-q|3$. Kết hợp điều kiện p,q nguyên tố nên có thể dễ dàng tìm được p,q