Bài toán :
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $I$ là tâm nội tiếp tam giác. Đường tròn đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AC$ tại $E$ và cắt $(O)$ tại $H$ $(E,H\neq C)$
$a)$ CMR: $EH$ đi qua trung điểm của $AI$
$b)$ Đường tròn đi qua $B$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AB$ tại $F$ và cắt $(O)$ tại $G$ $(G,F\neq B)$. CMR: $2$ đường tròn $(EIF)$ và $(GIH)$ tiếp xúc nhau
Lời giải:
a) Ta có (HA, HE)=(HA, HC)+(HC, HE)=(BA, BC)+(IC, IE)=(BA, BC)+(IC, IA)+(IA, IE)=(BA, BC)+(IC, IA)+(CI, CA)= (BA, AI) + (IA, IC)+(IC, BC)+ (CI, IA)+ (IC, CA) =(BA, AI)=(AI, AC) ( $\mod pi$ )
Như vậy MA là tiếp tuyến của (HEA).
Dùng phương tích $MA^2=MI^2=ME.MH$
b) Gọi IT là tiếp tuyến của (GIH) khi đó:
(IT, IE)=(IT, IH)+(IH, IE)=(IT, IH)+(CH, CA)=(GI, GH) +(BH, BA)= (GI, GF)+(GF, GH)+(BI, BF)= 2(BN, BA)+(GA, GH)+(GF, GA)= (BI, BF) +(BA, IA)
(FI, FE)= (FI, GF)+(GF, FE)= (BI, BG)+(HG, HE)=(BI, BA)+(BA, BG)+(HG, HA)+(HA, HE)= (BI, BA)+ (IA, AC)
Vậy IT cũng là tiếp tuyến tại I của (IEF) vậy ta có điều phải chứng minh.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
?
Trả lờiXóa