Góc định hướng trong chứng minh hai đường tròn tiếp xúc.

Bài toán :

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $I$ là tâm nội tiếp tam giác. Đường tròn đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AC$ tại $E$ và cắt $(O)$ tại $H$ $(E,H\neq C)$

$a)$ CMR: $EH$ đi qua trung điểm của $AI$

$b)$ Đường tròn đi qua $B$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AB$ tại $F$ và cắt $(O)$ tại $G$ $(G,F\neq B)$. CMR: $2$ đường tròn $(EIF)$ và $(GIH)$ tiếp xúc nhau

Lời giải:

a) Ta có (HA, HE)=(HA, HC)+(HC, HE)=(BA, BC)+(IC, IE)=(BA, BC)+(IC, IA)+(IA, IE)=(BA, BC)+(IC, IA)+(CI, CA)= (BA, AI) + (IA, IC)+(IC, BC)+ (CI, IA)+ (IC, CA) =(BA, AI)=(AI, AC) ( $\mod pi$ )

Như vậy MA là tiếp tuyến của (HEA).

Dùng phương tích $MA^2=MI^2=ME.MH$

b) Gọi IT là tiếp tuyến của (GIH) khi đó:
(IT, IE)=(IT, IH)+(IH, IE)=(IT, IH)+(CH, CA)=(GI, GH) +(BH, BA)= (GI, GF)+(GF, GH)+(BI, BF)= 2(BN, BA)+(GA, GH)+(GF, GA)= (BI, BF) +(BA, IA)
(FI, FE)= (FI, GF)+(GF, FE)= (BI, BG)+(HG, HE)=(BI, BA)+(BA, BG)+(HG, HA)+(HA, HE)= (BI, BA)+ (IA, AC)

Vậy IT cũng là tiếp tuyến tại I của (IEF) vậy ta có điều phải chứng minh.