Dùng hàng điểm điều hòa để chứng minh đồng quy

Đề bài:

Cho tam giác ABC không đều trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O,đường cao AD. Gọi E là giao điểm của OA với BC. 1 đường thẳng $\Delta$ đi qua D và song song với đường thẳng Euler của tam giác cắt AB,AC lần lượt tại M,N. I là trung điểm của AE. DI cắt AB ,AC lần lượt tại P,Q.Chứng minh rằng MQ,NP,OD đồng quy biết MQ cắt NP tại T.

Lời giải:

Gọi BB', CC' là 2 đường cao của tam giác ABC. B'C' cắt AD tại J. Ta có (A, H, J, D) = -1.

Gọi K là giao điểm của MN và AO
AO cắt (O) tại điểm thứ 2 là G. Ta có tam giác AB'C' đồng dạng tam giác ABC nên phép vị tự quay tâm A biến J thành H, E thành G. Dễ dàng suy ra JE//HG

Vậy ta có hệ thức $\frac{AJ}{AH}=\frac{AE}{AG}=\frac{AI}{AO}$

Hay JI song song với HO, hay JI song song với DK.

Do đó (A, O, I, K) = -1.

Vậy D(A, O, I, K) = -1, từ đó có MQ, NP, OD đồng quy ( bằng cách gọi giao điểm của OD và AB, AC).