Chứng minh rằng $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) \le 12$ với $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$

Việc dự đoán điểm rơi rất quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức nó giúp ta định hướng được cách giải.

Ta dự đoán được điểm rơi là $c=0, b=1, a=2$ và các hoán vị

Nên ta đánh giá bất đẳng thức mà đảm bảo dấu bằng như sau:

Lời giải:

Giả sử $c=min(a,b,c)$ thì:

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$ và $a^{2}-ca+c^{2}\leq a^{2}$

Suy ra:

$P\leq a^{2}b^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\leq \frac{4}{9}.(\frac{(a+b)^{2}}{3})^{3}\leq \frac{4}{9}.(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})^{3}=12.$

Đẳng thức xảy ra khi : $a=2,b=1,c=0$ và các hoán vị.