Chứng minh rằng: $\frac{a}{ac+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Đề bài: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ac+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


Lời giải:

Ta có:

$\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2} (a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\iff \frac{ab}{1+b}+\frac{bc}{1+c}+\frac{ca}{1+a}\leq \frac{1}{2} \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) .$
Dùng cô si ở mẫu ta được $\frac{ab}{1+b}+\frac{bc}{1+c}+\frac{ca}{1+a}\leq \frac{1}{2} \left(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\right) .$Ta chỉ cần chứng minh $$\color{red}a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq a^2+b^2+c^2.$$  Ta có bất đẳng thức sau $$\color{blue}a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$ và $$\color{blue}a^2+b^2+c^2\geq a+b+c,$$ AM-GM một lần nữa $\color{red}AM-GM:$ $$\color{blue}2(a^2+b^2+c^2)\geq (ab+a)+(bc+b)+(ca+c)\geq 2(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})$$ $\color{red}\Longrightarrow$ $$\color{blue}a^2+b^2+c^2\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a},$$ Vậy ta có đpcm