Dùng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức

Đề bài:
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$.
Tìm GTNN của: $K=\sum \frac{(1+a)^2(1+b)^2}{1+c^2}$

Lời giải:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=\left [ (1+ab)+(a+b) \right ]^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$

Do đó: $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

$K\geq 4a.(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

$\Rightarrow K\geq 8(a+b+c)\geq 8.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=24$

Dấu = xảy ra <=>$x = y = z = 1$