Dùng tính chất bậc của đa thức để giải phương trình hàm đa thức.

Bài toán: Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:

$(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x), \forall x\in \mathbb{R}$

Nguồn: http://diendantoanhoc.net/topic/160838-t%C3%ACm-%C4%91a-th%E1%BB%A9c-px-th%E1%BB%8Fa-m%C3%A3n/#entry641463

Lời giải:

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì dễ thấy $P(x)=0 (\forall x)$ thỏa mãn.

Nếu $P(x)$ là không phải là đa thức hằng, không mất tính tổng quát giả sử P(x) là một đa thức có hệ số cao nhất là 1.


Giả sử $deg P =n$

Khi đó VT: hệ số cao nhất của đa thức là $2(n-1)x^n$ còn VP là $4x^n$ nên $n=3$.

Đặt: $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, bằng đồng nhất hệ số ta được $a=c=0$, $b=-1$

Vì thế tất cả $P(x)$ thỏa mãn là $\boxed{P(x)=ax^3-ax}$ $\forall x$ với a là số thực nào đó.

Nhận xét; Việc giả sử đa thức P(x) là monic (có hệ số cao nhất bằng 1) là được vì do $P(x)$ là đa thức hệ số thực, nên nếu có hệ số cao nhất là a thì chia tất cả các hệ số cho a ta sẽ được đa thức P(x) monic